李永乐老师谈股票，为毛你总被割

先从一个故事说起，话说酒吧里有一男一女，女人提议玩一个游戏，规则如下：
2人各出一枚硬币，如果2个硬币都是正面则男人赢3块钱，如果都是反面则男人赢1块钱，如果是一正一反则女人赢2块钱。
男人心想，假如一个硬币的正面或反面的概率是1/2，那么就有1/4的概率赢3块钱、1/4的概率赢1块钱，还有1/2的概率会输2块钱，赢钱和输钱的概率差不多，运气好点说不定还能赚，于是欣然答应了。
结果玩了一段时间，男人发现自己一直在输钱，这里面是有什么猫腻吗？

用数学来推导

首先，明确一点，硬币不是往天上抛的，每个人可以决定出自己硬币的正面或反面，所以硬币的正反概率由男人和女人自己来决定。假设男人出正面的概率是x，则出反面的概率就是(1-x)，同理，假设女人出正面的概率是y，反面则是(1-y)，x和y的取值范围在0到1之间。
男人赢钱的期望值E就是：

$E(x,y) = 3xy + (1-x)(1-y) - 2x(1-y) - 2(1-x)y$

这个式子表示了2枚硬币共4种状态(正正，反反，正反，反正)的收益情况。
期望值受x和y值的影响，让男人输钱就是让这个式子的值小于0，但是女人只能决定自己出什么，所以也就只能决定y的值。
先直接让这个式子小于0

$3xy + (1-x)(1-y) - 2x(1-y) - 2(1-x)y < 0$

分解后得到：

$8xy - 3x - 3y + 1 < 0$

把y当作不等式的未知数，要让这个式子小于0，y需要满足的条件：

$(8x - 3)y < 3x - 1$

根据不等式定理，系数大于0不等式方向不变，系数小于0不等式方向变化：

$\begin{cases} 8x-3>0, & y<\frac{3x-1}{8x-3} \\ 8x-3<0, & y>\frac{3x-1}{8x-3} \end{cases}$

函数$ \frac{3x-1}{8x-3} $是一个减函数，也就是说x的值越大，函数值越小，x值越小，函数值越大。
要让不等式成立，要在$ 8x-3>0 $这个条件时比函数最小值还小，在$ 8x-3<0 $时比函数最大值还大，而x的取值范围是[0,1]，也就是说x=0时函数值最大，x=1时函数值最小。把值代入不等式可以得到：

$\begin{cases} \frac{3}{8} < x \leq 1, & y<\frac{2}{5} \\ 0 \leq x < \frac{3}{8}, & y>\frac{1}{3} \end{cases}$

可以看到2个条件下，y的取值是有交集的，也就是说，当y满足条件$ \frac{1}{3} < y < \frac{2}{5} $时，这个期望值就会是负数，只要女人出正面的概率在这个范围内，不管男人出正面的概率是什么都会输钱。